Combien de mains de dés existe-t-il ?
Cinq dés à six faces, lancés ensemble, produisent 6⁵ = 7 776 résultats ordonnés (c'est-à-dire en distinguant « premier dé, deuxième dé… »). Mais pour le Yam's, seul le multi-ensemble de valeurs compte : {1,1,2,5,6} est équivalent quel que soit l'ordre des dés sur la table. Le nombre de mains distinctes (non ordonnées) est donné par le nombre de façons de répartir 5 objets identiques dans 6 catégories, soit un coefficient binomial : C(5+6-1, 5) = C(10,5) = 252 mains possibles. C'est exactement le nombre que mentionne le solveur exact (« exploration exhaustive des 252 lancers non ordonnés »).
Ce nombre, 252, est la vraie taille du problème à chaque lancer : un joueur expert n'a pas besoin de mémoriser 7 776 cas, mais 252 configurations, ce qui reste beaucoup pour un cerveau humain — d'où l'intérêt des heuristiques de ce livre plutôt que d'une mémorisation brute.
Probabilité et pondération : pourquoi certaines mains sont bien plus rares que d'autres
Toutes les 252 mains distinctes n'ont pas la même probabilité, car le nombre de façons de les obtenir (le nombre d'arrangements ordonnés qui y mènent) varie énormément. Une main de type « brelan + paire différente » (un Full House, par exemple 2-2-5-5-5) peut être obtenue de plusieurs façons selon l'ordre des dés, alors qu'un Yams (5-5-5-5-5) ne peut être obtenu que d'une seule façon, quel que soit l'ordre. Le nombre d'arrangements d'une main de composition (n₁, n₂, …, n₆) — où nᵢ est le nombre de dés montrant la face i — est donné par le coefficient multinomial :
Nombre d'arrangements = 5! / (n₁! × n₂! × n₃! × n₄! × n₅! × n₆!)
Concrètement :
| Type de main | Exemple | Arrangements | Probabilité |
|---|---|---|---|
| Cinq valeurs distinctes (suite ou quelconque) | 1-2-3-4-5 | 120 | 120/7776 ≈ 1,543 % |
| Une paire + trois distinctes | 1-1-2-3-4 | 60 | 60/7776 ≈ 0,772 % |
| Deux paires + une distincte | 1-1-2-2-3 | 30 | 30/7776 ≈ 0,386 % |
| Brelan + deux distinctes | 1-1-1-2-3 | 20 | 20/7776 ≈ 0,257 % |
| Brelan + paire (Full House) | 1-1-1-2-2 | 10 | 10/7776 ≈ 0,129 % |
| Carré + une distincte | 1-1-1-1-2 | 5 | 5/7776 ≈ 0,064 % |
| Yams | 1-1-1-1-1 | 1 | 1/7776 ≈ 0,0129 % |
Cette table est la clé de voûte de toute l'intuition probabiliste du jeu : plus une combinaison de dés est "régulière" (répétée), moins elle a de façons de se produire, donc plus elle est rare. C'est pourquoi le Yams, la combinaison la plus "ordonnée" possible, est aussi la plus rare — il n'existe qu'un seul arrangement sur 7 776 qui y mène, pour chacune des 6 valeurs, soit 6/7776 au total (voir « Probabilités à un lancer : le tableau complet »).
L'espérance mathématique, ou comment comparer des choix incomparables
L'espérance mathématique (ou valeur espérée, notée EV pour expected value) est la moyenne pondérée de tous les résultats possibles d'une décision, chaque résultat étant pondéré par sa probabilité. C'est l'outil central de ce livre, car il permet de comparer des choix dont les résultats sont de nature très différente — par exemple, comparer « inscrire 24 points maintenant en case Chance » à « relancer deux dés en espérant un Carré » — sur une échelle commune : le score final moyen qu'engendre chaque choix.
Un exemple simple pour ancrer le concept : quelle est l'espérance de la case Chance (somme de 5 dés) ? Chaque dé a une espérance individuelle de (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5 points. Cinq dés indépendants ont donc une espérance de somme de 5 × 3,5 = 17,5 points. Ce nombre — 17,5 — est une référence à garder en tête en permanence : tout lancer de Chance en dessous de 17-18 points est décevant ; au-dessus, il est bon.
L'arbre des lancers : pourquoi trois lancers valent bien plus qu'un
Un tour de Yam's est un petit arbre de décision à trois niveaux : lancer, choix de conservation, lancer, choix de conservation, lancer, inscription. Ce qui rend le jeu riche stratégiquement, c'est que chaque relance est une correction ciblée : vous ne relancez jamais les cinq dés au hasard, vous relancez précisément les dés qui ne servent pas votre meilleure option en cours, en gardant tout le reste. Cette capacité de correction sélective change radicalement les probabilités par rapport à un lancer unique — c'est ce qui explique, par exemple, que la probabilité d'obtenir au moins un Brelan sur un tour complet (project stratégique, deux relances utilisées à bon escient) atteigne environ 74,3 %, alors qu'elle n'est que d'environ 21,3 % sur le seul premier lancer (voir calculs détaillés dans « Probabilités sur trois lancers : la vraie question »).
Retenez ce principe directeur pour la suite du livre : une main de départ décevante n'est presque jamais une raison de désespérer — elle est une information à partir de laquelle calculer la meilleure correction possible avec les deux lancers restants.